Krokování
Krokování je jedno z prvních prostředí, do něhož děti vstupují. Je důležité provádět je hned od počátku v rytmu – osvědčuje se nejprve pochodování v relativně pomalém rytmu na dítětem vybranou písničku. Jde o koordinaci pohybu těla a počítání, která je ve sféře hrubé motoriky snáze dosažitelná. Zvládnutí rytmu počítání a krokování pak pomůže dítěti v motorice jemné, takže se mu bude dařit současně vyslovovat čísla a ukazovat počítané předměty. Krokování pomůže počítání zpomalit – mnohé děti ve snaze napodobit rodiče počítají příliš rychle, takže je pro ně synchronizace ukazování a vyslovování obtížnější.
Krokování velmi dobře přispívá k pochopení dalšího významu čísla – hodnoty změny („jdi o tři kroky dále“). Při využití pásu jako schodů, tj., krokovacího pásu s čísly, dosáhne dítě i na pochopení čísla jako nositele informace o výsledku porovnání („stojím o tři schody výše“) a nositele informace o adrese („to je třetí schod“). Jak lze snadno nahlédnout, krokovací pás s vyznačenými schody vlastně představuje číselnou osu, na níž se dítě pohybuje jako živý index. Význam tohoto prožívání pohybu po číselné ose je evidentní – dítě se stává vlastně součástí úlohy, kterou řeší (!)
Protože vykonaný krok na rozdíl od prstů již není vidět, je krokování příspěvkem ke zvládnutí abstrakce. Mnohé děti také spontánně objeví záporná čísla a jsou tím fascinované (tři kroky dopředu, čtyři dozadu je ve výsledku jeden krok dozadu, na druhou stranu od nuly, tedy mínus jedna – což alespoň některé děti znají z obchodních domů resp. z teploměru).
Proces krokování se již v prvním ročníku učí děti nejprve svým vlastním, později dohodnutým způsobem převádět číselné výrazy na záznam krokování a zpět. Je to vynuceno složenými pokyny (např. dva kroky vpřed, pak dva kroky vpřed, pak jeden krok zpět – vedlejším efektem je nácvik spojů). Chceme, aby si dítě alespoň při doučování zvyklo na to, že si dělá své poznámky, kdykoliv to potřebuje.
Tuto práci lze (mimo jiné) chápat i jako přípravu záznamů úloh o procesu. Úlohami o procesu jsou obávané úlohy o pohybu (ne dítěte, ale aut jedoucích proti sobě nebo souběžně) i náročné úlohy o věku. Ve třetím ročníku se děti naučí mínus před závorkou přepsat v záznamu krokování jako čelem vzad – v příslušných úlohách si pak děti pohybem celého těla mnohokrát připomínají, že pokud udělám čelem vzad, znaménka u všech členů výrazu (u všech pokynů krokování) se obracejí – jdu-li po otočení se čelem vzad pozadu, jdu v původním směru a tedy se pohybuji dopředu.
Kromě toho, že aktivita krokování se zúročí i v dalších tématech druhého stupně (např. při počítání s absolutními hodnotami), pomáhá dobře zapojit hyperaktivní děti.
Poslední poznámka úvodu se týká jednoho detailu práce s učebnicí. Již v prvním ročníku nacházíme mnoho příležitostí k tomu, aby dítě analýzou obrázku samo vyvodilo, co je podstatou úlohy, jaké je zadání. Příkladem je tento záznam z druhé poloviny prvého ročníku (str. 21 druhého dílu učebnice):
Hoď kostky a vyřeš
V prvním řádku série červeno-modro- bílých obrázků jde o tento pokyn: 1) Hoď červenou kostkou, zapiš hod do červeného pole a postav se na schod, jehož číslo udává červená kostka. 2) Hoď modrou kostkou, zapiš do modrého pole a udělej tolik kroků, jejichž počet udává modrá kostka. Druhý řádek série červeno-bílo- modrých obrázků začíná stejně: 1) Hoď červenou kostkou, zapiš hod do červeného pole a postav se na schod, jehož číslo udává červená kostka. 2) Hoď modrou kostkou, zapiš hod do modrého pole a udělej tolik kroků, aby ses dostal na schod, jehož číslo jsi do modrého pole zapsal.
Zadání a dekódování druhého řádku je obtížnější a lze se ho dobrat diskuzí ve třídě (vyzkoušeno, padly tři různé návrhy, třída nakonec přijala správnou interpretaci). Při práci učitele s jedním žákem je třeba přikročit k obdobnému rozhovoru – k otázce „když se podíváš na obrázky v tom druhém řádku: co asi máme udělat?“.
Hadi
Hadi jsou zkráceným zápisem krokování, objevují se na počátku druhého dílu pracovní učebnice pro 1. ročník. Grafická podoba je alternativou ke klasickému sčítání nebo odčítání, přičemž žák musí určit, o kterou z těchto dvou variant se jedná. Vedlejším efektem je nácvik spojů. V nejjednodušší formě zde ale nejde o součet nebo rozdíl dvou stavů (hromádek jablek) ale o konečný bod posunu po číselné ose, známe-li počátek a velikost posunu, nebo o velikost posunu, známe-li počáteční a koncový bod, nebo o určení počátečního bodu, známe- li velikost posunu a bod koncový. Zdánlivě složitá úloha se stane fyzickým krokováním jednoduchou. Už na konci prvního ročníku je možné řešit složitější hady odpovídající složeným pokynům krokování a hady s podmínkou rozvíjející schopnost řešit soustavu dvou rovnic metodou pokus–omyl.
Šipky – čtvercová mříž
Jde vlastně o (zobrazení) krokování ve 2D. Kromě pohybu vpřed a vzad přibude pohyb vpravo a vlevo. Pohyb ve čtvercové síti znázorněný šipkami připravuje dítě na pochopení souřadnicové soustavy.
Tak jako je krokovací pás nejprve zobrazením řady přirozených nebo i celých čísel a je tedy založen na diskrétním výběru celých čísel ze spojité osy všech čísel – osy, na které budeme později moci jakékoli reálné číslo zobrazit, je čtvercová mříž založena na diskrétním výběru ze dvou spojitých, na sebe kolmých os. Zakreslujeme do ní mřížové obrazce (obrazce s vrcholy umístěnými výhradně na průsečících mříže) a určujeme obsahy a obvody mřížových obrazců.
Odpočítávání obsažených čtverečků v mřížových čtvercích a obdélnících se objevuje již ve druhém ročníku. Zkušenosti s určováním obsahu a obvodu mřížových obrazců se pak zúročí pro odvození vztahů pro obvod a obsah jakéhokoliv obrazce – bez mříže. Zjemňování čtvercové sítě se současným pokračováním výpočtů obsahu je de facto postupem vysokoškolské matematiky.
Krychlové stavby
Krychlové stavby kolem sebe samy definují prostorovou mříž. Odpočítávání krychliček v krychlovém tělese se objevuje ve čtvrtém ročníku a připravuje pojem objemu. Odpočítávání viditelných stěn krychliček připravuje pojem povrchu. Obdobně jako u 2D můžeme říci, že zjemňování krychlové sítě se současným pokračováním výpočtů objemu a povrchu je de facto postupem vysokoškolské matematiky. Do tohoto prostředí však děti vstupují mnohem dříve – a přes toto prostředí vstupují do geometrie jako takové. Právě vstup do geometrie přes 3D je výbornou ilustrací metody VOBS, v níž vždy děti nejdříve experimentují, pak o činnostech mluví přirozeným jazykem a až nakonec začnou používat jazyk matematický, neboť ho správně používá učitel. V předškolním věku, když dítě staví z kostek věže i složitější stavby, získává první matematické i fyzikální zkušenosti, které zatím nedovede pojmenovat. Na konci prvního ročníku umí identifikovat, stavět a přestavovat krychlové stavby podle plánu, stavbu naopak plánem zaznamenat, seznámí se s tělesem, poprvé vidí rozdíl mezi tělesem a stavbou. Ve druhém ročníku umí vytvořit síť krychle a komunikovat o vztahu krychle a její sítě v metaforickém jazyce (síť krychle je jejím oblekem). Ve třetím ročníku již postaví stavbu podle portrétu nebo plánu (půdorysu s vyznačením počtů kostek ve svislém směru) a zakreslí i její pohled zepředu nebo z boku.
Ve čtvrtém ročníku dochází k rozšíření zkušeností žáka s dalšími tělesy (např. rotačními). Žák pracuje se zobrazením tělesa ve všech třech kolmých pohledech – shora, zepředu a zprava. Umí sestrojit jednoduché 3D-útvary daných vlastnosti, jejich sítě a kostry. Určí povrch a objem nepravidelného krychlového tělesa. V pátém ročníku žák rozšiřuje své poznání o dalších tělesech. Upevňuje představy o obvodu, obsahu a objemu, propojuje jednotky délky, obsahu a objemu, hledá souvislosti mezi rozměry těles a jejich povrchem a objemem.
Autobus
Autobus je nejtypičtějším zástupcem prostředí, v němž čísla nesou konkrétní význam, tedy sémantického matematického prostředí. Děti si „hrají na autobus“ už od prvního ročníku, Cíle této aktivity se postupně proměňují:
Při prvním (a nejen prvním) vstupu do tohoto prostředí je Autobus krabicí, do níž lze házet cestující, představované např. kostkami. Vstup cestujícího má být totiž nejen vidět ale i slyšet.
Zastávkami jsou předem stanovená místa ve třídě, např. stolek učitele, umyvadlo, mapa, tabule, skříň, klavír. Autobus jede z výchozí zastávky na konečnou. Na jednotlivých zastávkách může někdo vystoupit a nastoupit. Žáci to pozorně sledují, ale do autobusu (krabice) nevidí. Jakmile dojede autobus na konečnou, zeptá se učitel žáků, kolik je v autobusu cestujících. Každý žák napíše svůj tip na tabulku a poté učitel ukáže žákům obsah krabice a cestující společně přepočítají
Cíle se postupně proměňují. Nejprve jde o motivaci a trénink krátkodobé paměti. Později učitel položí nečekanou otázku, což vzbudí potřebu nějakého zápisu (ne standardizovaného, předepsaného učitelem). Zvyk dělat si vlastní zápis je užitečný sám o sobě, a zde dítě postupně dospěje dokonce k zápisu tabulkou. U složitějších úloh (některé údaje nevíme a máme je vypočítat) přistupuje tvorba strategie: počítání od konce, rozklad úlohy na úseky, metoda pokus omyl s ověřováním pomocí dramatizace (modelování) jízdy. Tento proces můžeme modelovat i pomocí krokování mezi „schody“: stav lidí při příjezdu je jedno políčko (jeden tzv. schod), stav lidí po zavření dveří při odjezdu je druhé políčko, kroky vzad resp. vpřed modelují ubývání resp. přibývání cestujících.
Setkáváme se také s výpočtem neznámé hodnoty ze čtveřice vzájemné provázaných hodnot, z nichž tři známe, čtvrtou hledáme – to je situace trojčlenky, i když zde nejde o násobení, ale o sčítání a odčítání: Víme-li, kolik lidí do nějaké stanice přijelo i kolik jich odjelo a zároveň známe počet vystupujících, umíme určit počet nastupujících nebo naopak – známe-li stavy cestujících při příjezdu i odjezdu autobusu a počet nastupujících, vyplyne nám počet lidí, kteří museli vystoupit.
Děda Lesoň
Prostředí Děda Lesoň se zavádí od druhého ročníku prostřednictvím příběhu o dědovi Lesoňovi, který se stará o svá zvláštní zvířátka. Lesoň pro ně vymýšlí různé hry, zejména přetahovanou. V tomto prostředí se síla dvou myší vyrovnává se silou jedné kočky, síla kočky spolu s myší se vyrovná síle jedné husy…. Prostředí tedy umožňuje pracovat s veličinou, uvědomovat si rozdíl mezi veličinou a počtem.
Na rozdíl od prostředí mincí není hodnota (síla jednotlivých zvířátek) na první pohled zřejmá a je nutno respektovat vztahy, které poměr sil definují. Děti dokážou provádět substituci, tj. nahrazovat soubor několika veličin souborem jiných veličin o obecně odlišném počtu, ale stejné celkové hodnotě, např. nahrazovat jeden objekt dvojicí jiných objektů o stejné celkové hodnotě (kočka má stejnou sílu jako dvě myši, pes má stejnou sílu jako dvě kočky).
Prostředí Děda Lesoň je přípravou na porozuměním rovnicím a jejich úpravám; ve čtvrtém ročníku již dětí dokážou řešit soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Dosazování a přesná výměna silnějších zvířat za slabší a naopak je i součástí propedeutiky převodů jednotek.
Mohlo by Vás také zajímat:
Doučování matematiky – co je cílem?
Matematika podle profesora Hejného
Matematika podle profesora Hejného: Dva významy slova prostředí
Matematika podle profesora Hejného: Přehled prostředí využívaných na prvním stupni
Matematika podle profesora Hejného: O procesu poznávání
Matematika podle profesora Hejného: Porozumění číslu
Text byl převzat z publikace Člověka v tísni Dobrovolníkův průvodce doučováním v rodinách.
