Každé dítě se experimentováním, objevováním, pokusem a omylem naučí stát, chodit a mluvit, aniž bychom je o to žádali a dávali mu k tomu své návody, a přitom se jak při učení zachování stability, tak při vývoji svého prvního jazyka nemá čeho chytit – v doslovném i přeneseném významu. Nežádáme ho o to, neposkytujeme mu žádné své návody. Nespěcháme a nedáváme mu žádné dárky, body či známky. Dítě to dělá z vlastní potřeby rozvíjet se. My se „pouze“ divíme a projevujeme radost, když zjišťujeme, co dokáže. Tento přístup dospělých se většinou při zahájení povinné školní docházky mění ve svůj opak: požadujeme výkon, dáváme návody, spěcháme, známkujeme.
Vztah k rychlosti pamětného počítání zasluhuje zvláštní pozornost. Na prvním stupni jde o rychlé sčítání a odčítání do 100, násobilku a odpovídající dělení. Učitelé za tím účelem vymýšlejí různé hry a soutěže (známá je hra Král počtů), děti a někdy i rodiče tak získávají přesvědčení, že spoje je nutno naučit se zpaměti.1 U náročnějších úloh se setkáváme s tím, že si děti nedělají poznámky podle své potřeby – buď jsou jim přímo zakázány, nebo jsou vyžadovány v přesném formátu. Pokud pak děti nejsou schopny celou úlohu vyřešit pamětně, vzdávají ji.
Dítě je tak přesvědčováno o významu paměti v učení se matematice, přestože smyslem vyučování matematiky je rozvoj intelektuálních schopností žáka a automatizace početních spojů by měla být vedlejším efektem, ne primárním cílem. Ještě horší je, že dítě může ztratit nebo nemusí ani získat povědomí o tom, co vlastně dělá. Konečně nejvíc devastující je ztráta důvěry dítěte ve vlastní schopnosti.
Vzniká zde námitka, že doučující má připravit dítě na reálné školní situace, v nichž právě rychlost provádění aritmetických operací vyžadována bude. Zde se musí doučující rozmyslet, zda chce okamžitý, ale krátkodobý efekt (s popsanými vedlejšími účinky) nebo zda bude raději investovat do dlouhodobého efektu a chce, aby dítě mělo šanci uspět ve vyšších ročnících – chtělo a umělo konstruovat vlastní znalost, tedy rozumělo tomu, co dělá, rozumělo matematice, umělo matematicky přemýšlet.
Metoda VOBS se soustředí na to druhé. I v učebnicích využívajících metodu VOBS najdeme dost úloh vyžadujících mnoho rutinního počítání, které ale děti vykonávají s chutí, někdy až nedočkavě – podobně jako vědec, který rád překoná fázi rutinních kroků, když jde za něčím zajímavým. Rutinní počítání je ve VOBS prostředkem k prozkoumávání problémů, automatizace spojů vedlejším efektem této činnosti.
Redukce matematiky na spoje základních početních úkonů se projevuje u slovních úloh doplňující otázkou „A je to úloha na sčítání, nebo na odčítání? Nebo na dělení?“2 Na takovou otázku ve VOBS neodpovídáme. Pokud se žákovi jeví jako obtížná, dáme snazší úlohu nebo umožníme sehrání úlohy manipulací s fazolemi (jako kuličkami) nebo obojí.
V metodě VOBS děláme nejen vše pro to, aby dítě za každých okolností vědělo, co dělá. Chceme, aby se matematické činnosti staly dítěti potřebou3; abychom jimi dále podpořili (nebo znovu probudili) již existující zájem dítěte experimentovat a objevovat. To vše bez vymýšlení speciálních motivačních akcí či příběhů, přesto s vysokými cíli. Ty jsou ovšem jiné než cíle vyučování matematice – nebo spíše počtům – ve třídě zaměřené primárně na zvládnutí základních početních operací.4. Jiný je i celkový přístup.
Některé rozdíly mezi klasickým vyučováním a metodou budování schémat:
KLASICKÁ MATEMATIKA
Co je považováno za důležité
Rychlost. Žák spolehlivě a hbitě říká výsledky základních početních operací bez použití prstů či jiných pomůcek.
BUDOVÁNÍ SCHÉMAT
Trvalost porozumění i na úkor rychlosti. Žák ví vždy přesně, co dělá – používá pomůcky, když je potřebuje.
Automatizace početních spojů
Automatizace spojů jako 6+7=13, 6×6=36 se nacvičuje a požaduje.
K automatizaci dojde díky množství úloh, jejichž cílem není automatizace sama, ale např. nalezení všech řešení nějaké úlohy, správné usazení skupiny čísel do součtové pyramidy.
Učitel typicky
žákům vysvětluje, jak se úlohy probíraného tematického celku řeší;
následně s třídou učivo procvičuje;
pozorováním / testováním prověřuje, jak si který žák osvojil řešitelské postupy.
žákům předkládá problémy, jejichž výběr je připraven tak, aby žáci postupně sami odhalovali matematické zákonitosti, vztahy a pojmy;
moderuje a podporuje diskuzi;
pozorováním / testováním provádí diagnostiku matematických schopností.
Při získávání poznatků ideálně nastává
rychlé ukládání informací, které ale po ztracení nelze znovu vybavit. Doba uložení je krátká, informace se přes letní prázdniny zapomínají. Jednotlivé izolované postupy jsou vytlačovány novými.
pomalé až zdlouhavé a postupné budování schémat a vlastní konstrukce poznatků. Znalosti získané vlastní konstrukcí jsou trvalé, mění se jejich kvalita. Schémata v hlavě žáka se postupně doplňují, upevňují a díky rozeznaným vazbám i vzájemně posilují.
Motivace
umělé navození nálady, příběh apod.;
vnější známky, body.
pnutí mezi „nevím“ a „chci vědět“;
vnitřní chuť opakovat zážitek objevu řešení nebo nějakého objevu s řešením souvisejícího.
Jak dochází k vyučování / učení
Nejprve učitel zavede matematický objekt (pojem) a pravidla, pak ukáže aplikaci pravidel, nakonec se vše procvičuje.
Nejprve žáci s matematickými objekty i s jejich fyzickou reprezentací manipulují, pak o této manipulaci mezi sebou komunikují v mateřském jazyce, nakonec objeví pravidlo a začnou používat matematický jazyk.
Kdy číslo nese význam
V závěru aktuálně probíraného tématu – ve slovních úlohách.
V tzv. sémantických prostředích (prostředí propojená na zkušenosti – typicky Autobus, Krokování) nebo částečně na fantazii (Děda Lesoň).
Kdy čísla existují sama o sobě
Ve většině tradičního učiva; vzájemné vazby čísel jsou redukovány na čtyři základní operace.
V strukturálních prostředích umožňujících např. objevování matematických zákonů a zákonitostí (např. Násobilkové čtverce jsou přípravou na objev distributivního zákona).
Vstup do geometrie
Do geometrie se vstupuje prostřednictvím abstraktních pojmů. Nejdříve přichází na řadu bod, pak přímka a úsečka, pak rovinné obrazce, nakonec prostorová geometrie.
Navazujeme na zkušenosti se stavěním věží a jiných staveb z „kostek“ (tedy z krychlí). Tyto zkušenosti získá dítě už v předškolním věku. Vstup do geometrie se uskutečňuje konkrétně – přes 3D geometrii.
Co v tomto textu rozumíme schématy a jejich budováním?
Schémata jsou ucelené představy, které se ve vědomí člověka vytvářejí na základě mnohonásobně opakované zkušenosti. Jsou nositelem mnoha konkrétních poznatků, které člověk dovede ze schématu odvodit, např. ze schématu svého bytu dovedete odvodit počet oken, které v bytě jsou, aniž by je aktuálně musel fyzicky přepočítávat, nebo ze schématu krychle dovedete odvodit počet jejích tělesových úhlopříček (Hejný a kol., 2004: str. 25).
Kdyby se vás někdo na počet oken ve vašem bytě zeptal, nebudete možná umět odpovědět ihned. Znalost počtu oken se ale neprojevuje okamžitým vybavením informace (tak jako se skutečná školní znalost neprojevuje nutně okamžitou odpovědí), nýbrž – v daném případě – schopností toto číslo zjistit, aniž byste museli do bytu při položení otázky vstoupit. Stačí v duchu projít všemi místnostmi a okna spočítat. Schéma bytu máte spolehlivě ve vaší mysli uloženo, přestože jste se ho vědomě neučili. Schéma se ve vaší mysli vytvořilo proto, že v tom bytě žijete.
Velmi podobně je tomu s budováním matematických schémat. Žák opakovaně navštěvuje prostředí, z nichž každé je jím přijímáno s různou mírou zájmu a každé jinak přispívá k matematickému myšlení. Samostatné řešení vhodných úloh (tj. řešení s minimálními zásahy učitele) lze považovat za autentické prožívání matematiky.
Nejsilnější, nejvíce motivující a aktivizující roli tu hraje zážitek objevu. Pasivní sledování výkladu učitele tento zážitek neumožní – a co hůře, nemáme žádnou jistotu, že dítě chápe, co je mu vysvětlováno, že si nový výklad s předchozími poznatky propojí, a že když je něco správně na papíře či na tabuli, je to správně také v hlavě dítěte.
Takový přístup – vlastní objevování vztahů, postupů a schémat – lze realizovat i bez učebnic týmu profesora Hejného. Učebnice jsou však s využitím tzv. matematických prostředí již připraveny tak, aby usnadnily přípravu učitele v tomto procesu a umožnily žákům postupně objevit celou matematiku, a to minimálně na úrovni odpovídající danému ročníku.
Metoda, k níž byly před osmi lety poprvé v ydány Nakladatelstvím Fraus učebnice v yužívající komplex matematických prostředí, je ve skutečnosti stará zhruba 70 let – prvním autorem je totiž Vít Hejný, otec profesora Milana Hejného, který byl jeho prvním žákem.
Milan Hejný sám pak v mládí podle této metody učil v letech 1977–1985; nejprve ve třídě svého syna. Víme, že každé dítě z této třídy – třídy nikterak výběrové – absolvovalo nějakou vysokou školu. Stávající učebnice se používají od roku 2007, takže dnes již můžeme říci, že vysoká efektivita v podpoře matematických kompetencí dětí se potvrzuje, pokud se používají konstruktivně, jak je popsáno v předchozím odstavci. Nedávalo by žádný smysl, pokud by se používaly transmisivně – tj. pokud by vše bylo žákovi vyloženo a žák by měl pouze poslouchat a opakovat již vyřčené, aplikovat již vysvětlené.
Vynoří se okamžitá námitka, že ne každé dítě je schopno něco v matematice objevovat a tedy alespoň některým dětem není radost z objevu dopřána. Pro koho jsou vlastně učebnice vhodné? Nestane se, že nějaké dítě se nechytí vůbec? Zkušenosti s metodou i vlastní zkušenosti autorky tohoto textu ukazují, že důsledné používání metody od prvního ročníku je naopak prevencí vzniku bloku v matematice – víme totiž, jak a proč tento blok vzniká. Nicméně čím později se s metodou začne, tím náročnější je role učitele – musí totiž překonávat dítětem získané přesvědčení5, že náročné úlohy se řeší pomocí návodu (toto přesvědčení se projevuje výrokem „to jsme ještě nebrali“). Takový žák nejen přichází o vlastní rané matematické zkušenosti, nejen že nemá připravena vlastní schémata pojmů a poznatků (pouze informace, které si nemá na základě čeho znovu zkonstruovat), ale připravuje se na určitý stupeň duševní invalidity – nebude věřit ve schopnost vymyslet vlastní návod, neočekává se to od něj. Také už nemá šanci sám objevit, co mu bylo prozrazeno – matematika je jaksi „bez vtipu“. Pořád je však lépe začít později než nikdy.
Jak je to se zážitky objevu, ve kterém ročníku vlastně může ke zmíněným objevům začít docházet? Již v ročníku prvním – všude tam, kde se žákovi úloha jeví jako náročná a učitel přesto neukáže řešení, nýbrž vybídne žáka pokynem typu „tak to nějak zkus“. Žák projeví radost v okamžiku, kdy se prověřením výsledku sám dozví, že uvažoval a počítal dobře nebo že jeho pokus vyšel. Opakovaně se přesvědčujeme o tom, že samostatné vyřešení úlohy vyvolá u dětí radostné emoce, které by se nemohly objevit, kdyby učitel tuto samostatnost žákovi neumožnil. Již úlohy prvního ročníku mají potenciál vnímání matematiky jako něčeho, v čem lze experimentovat a prožít radost.
Vybídneme-li dítě k tomu, aby úlohu řešilo metodou pokus – omyl, neznamená to, že ho učíme výsledek tipovat. Schopnost využívat metodu pokus-omyl je důležitou matematickou schopností a „střelba nazdařbůh“, kdy předchozí pokusy nejsou brány v úvahu, je jen jejím prvním stádiem. Slabším výkonem už je jen odmítnutí, kdy žák vzdává úlohu (například tu, kterou nezvládne z hlavy); ani ji nezkusí řešit. Existují ale naopak i vyšší stádia: časem může žák intuitivně využít předchozí neúspěšný pokus – pamatovat si, že byl neúspěšný, případně si neúspěšné pokusy zaznamenávat, případně sledovat, jaký směr pokusů se blíží k cíli, zkoumat příčinu neúspěšného pokusu, hledat zákonitost.
Vidíme, že vyšší stádia této dovednosti vypovídají o matematicky vyspělejším žákovi. Ne všechny úlohy jsou pro tuto metodu vhodné6, nicméně v prvním ročníku lze takto přistoupit k většině úloh, jejichž řešení nelze určit s běžnými pomůckami, nebo v nichž žák udělá chybu (místo sdělení o chybě navrhne učitel ověření výpočtu např. krokováním nebo na počítadle). Návyk ověřovat řešení (což je přirozená součást metody pokus-omyl) je rovněž důležitý pro další matematický vývoj žáka, podobně jako používání jakéhokoliv vlastního zápisu.
Pomůcky je třeba používat podle potřeby žáka, rozhodně nezakazovat používání prstů, ale používat resp. nabízet i krokování a počítadlo nebo jinou pomůcku, kterou si žák oblíbil. Fakt, že k zážitkům objevování dochází již v prvním ročníku při používání metody pokus – omyl ukazuje na to, že zážitky objevování jsou dostupné všem dětem.
CO DĚLAT, KDYŽ ŽÁK ÚLOHU ODMÍTÁ ŘEŠIT S POUKAZEM NA TO, ŽE JI NEZVLÁDNE?
Ve třídě nebo skupině dětí můžeme požádat jiné žáky, aby řešení vysvětlili – to je dobrá šance pro odmítajícího žáka i pro „žáky – učitele“. Při doučování jednoho dítěte tuto možnost nemáme. Kromě naší ukázky pokusu (samozřejmě neúspěšného, abychom úlohu ihned nevyřešili za žáka) je možné sáhnout k obdobné úloze z téhož prostředí – zalistovat v pracovní učebnici o pár stránek zpět, případně využít úlohu z nižšího ročníku.
Mohlo by Vás také zajímat:
Doučování matematiky – co je cílem?
Matematika podle profesora Hejného: Dva významy slova prostředí
Matematika podle profesora Hejného: Přehled prostředí využívaných na prvním stupni
Matematika podle profesora Hejného: O procesu poznávání
Matematika podle profesora Hejného: Porozumění číslu
Matematika podle profesora Hejného: Podrobnější náhled do šesti vybraných prostředí
Text byl převzat z publikace Člověka v tísni Dobrovolníkův průvodce doučováním v rodinách.
